本篇内容

1. 介绍一些常见的奇异期权 （exotic option）
2. 给出研究奇异期权的框架
3. 讨论障碍期权(barrier option)的边界条件和解

奇异期权

一般来说，所有不是最简单的看跌和看涨期权的都可以认为是奇异期权，常见的奇异期权：

• 路径依赖的（path-dependent）期权
• 障碍期权，对标的资产的价格是否会进入或迭出某一价格区间的期权，这个特性可以加在几乎所有其他期权
• 亚式期权（Asian option），指的是计算期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价格，而是用期权合同期内某段时间标的资产价格的平均值，通常需要考虑如下因素：
• 采取平均值的时间区间
• 采取什么方式平均？几何平均（geometric average）还是算数平均（arithmetic average）？
• 是否加权？是否对近期的价格增加权重？
• 离散取样还是连续取样？
• 回顾式期权（lookback option）， ，其中 为某种定义的最大值（见亚式期权的需要考虑的）
• 复合期权（compound option），指标的资产为其它期权
• 任选期权（chooser option， 或As you like it option），指的该期权可以当一个看涨期权或者一个看跌期权，该期权持有者可以任选一个执行
• 特殊的收益函数（payoff function）期权
• 指状期权（digital option, 又称两值期权，二元期权，Binary Option），这是对标的资产的价格是否会高于或低于某一价格，如call-or-nothing看涨期权的收益函数为：

另外美式期权也可以视为一种期权期权，其提前执行（early-exercise）的特性也可以加到其它期权上。

研究框架

• 对于复合期权，只需更改该期权的收益函数改为标的资产的期权的收益函数即可；
• 对于任选期权，只需对两种期权取大的值即可；
• 通用框架

我们引入一个新的变量 以此来表示标的资产价格的历史影响。由于资产价格的历史和当前价格是相互独立的，所以可以认为 为独立变量，期权价值为 。从此出发，类似于之前的保值策略，我们可以得到新的PDE。

下面以 为例作一下推导：

首先，我们有 ，应用伊藤引理可得

通过做 保值（hedge）及所得资产组合的收益为无风险收益，可得

另外边界条件和具体期权的选择息息相关，需要具体问题具体分析。

障碍期权

这里以欧式股价下跌失效（down-and-out）的看涨期权为例，即如果标的资产的价格从没有低于 ，那么该期权的收益函数为 。

• 如果标的资产价格一直大于 ，那么 满足Black-Schole方程；
• 当
• 
• 

这里唯一的区别在于最后一个边界条件。同样和之前一样我们可以求出期权价值为：

，其中 , 为对应的没有障碍特性的看涨期权的价值。